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Finanzlexikon

Volatilität

Was ist Volatilität?

Die Volatilität ist in der Finanzindustrie ein Mass für die historische Breite der Preisschwankungen eines Wertpapiers. Bewegt sich ein Wertpapier stark auf und ab, spricht man von einer hohen Volatilität. Verzeichnet ein Wertpapier nur geringe Schwankungen, ist die Volatilität gering. Die Volatilität misst die Abweichung der Preisschwankungen vom historischen Mittel. Meist wird die Standardabweichung über 1 Jahr als "Volatilität" bezeichnet.

 

Volatilität als Risikomass

Die Volatilität wird als Risikomass verwendet und auch oft mit dem Risiko selbst gleichgesetzt. Ist in einem Fondsdatenblatt von einem Risiko von 6% die Rede, ist damit das Mass der Volatilität gemeint.

Dass die Volatilität als Risikomass dienen kann, liegt auf der Hand. Schliesslich verfügt ein Wertpapier, das hohe Wertschwankungen aufweist über ein höheres Risiko, als ein Wertpapier mit geringen Schwankungen. Wenn man Volatilität als Risikomass betrachtet, ist dieses Risiko positiv als auch negativ, da ja die Wertschwankungen Gewinne, wie auch Verluste verursachen können.

Risiko mit Volatilität gleichzusetzen, ist aber auch gefährlich. Die Volatilität ist eine Vergangenheitsbetrachtung der Wertschwankungen. Diese können sich aber ändern und in Zukunft plötzlich grösser oder kleiner ausfallen, da sich das Marktgeschehen ändert. Zudem beinhaltet die Volatilität als Massgrösse nur eine Standardabweichung und deckt damit nur eine Wahrscheinlichkeit von 68.3% ab. Also ist mit 31.7% Wahrscheinlichkeit die zukünftige Wertschwankung grösser als die errechnete Volatilität. Extreme Marktentwicklungen wie im Jahr 2008 können daher viel grössere Verluste verursachen, als das Volatilitätsmass selbst angibt.

 

Wie wird die Volatilität hergeleitet? Volatilität berechnen

Normalverteilung

Die Volatilität beruht auf der statistischen Normalverteilung, die der deutsche Mathematiker Gauss ergründet hat. Es ist daher auch von der Gaussschen-Normalverteilung oder der Gaussschen-Glocke die Rede.

statistische Normalverteilung

μ = Mittelwert (griechischer Buchstabe "Mü")

σ = Standardabweichung (griechischer Buchstabe "Sigma"

 

Der Normalverteilung liegt die Beobachtung zugrunde, dass natürliche Daten nach einem Muster verteilt sind: der Normalverteilung.

Betrachten wir ein einfaches Beispiel, um die obige Grafik zu ergründen:

Die Körpergrösse von 2000 Menschen wird gemessen. Die gesamte Fläche der Glocke stellt 100% oder alle 2000 Menschen dar.

Die durchschnittliche Körpergrösse beträgt 171 cm. Das ist die Mitte der Glocke die mit μ bezeichnet ist.

Die Standardabweichung (σ) beträgt in unserem Beispiel 7cm. Das bedeutet, dass von der Mitte aus bis zum nächsten Abschnitt 7 cm Differenz sind.

Die Normalverteilung besagt nun, dass 68.3% (also 1366 Menschen) eine Körpergrösse von 171cm +/- 7 cm haben. Dies stellt die dunkelblaue Fläche der Grafik dar. Diese Menschen sind also alle zwischen 164cm und 178cm gross.

95.4% der Menschen liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen des Mittelwerts. Also sind 1908 Menschen zwischen 157cm und 185cm gross. Auf der Grafik stellt dies die beiden 13.5% Abschnitte, sowie die mittleren zwei 34.1% Abschnitte dar.

Nur 4.6% der Menschen haben eine Körpergrösse ausserhalb des Mittelwerts +/- 2 Standardabweichungen (also kleiner als 157 oder grösser als 185).


Verteilung der Tagesrenditen im DAX im Jahr 2011

Zur Ermittlung der Volatilität bei einem Finanzinstrument werden die täglichen Schwankungen über ein Jahr beobachtet und in der Normalverteilung betrachtet. Wir nehmen uns als Beispiel die täglichen Wertschwankungen des deutschen Aktienindex DAX im Jahr 2011 vor. Damit können wir die Volatilität des DAX berechnen.

Zuerst müssen die Daten gesammelt werden: 4. Januar -0.21%, 5. Januar -0.51%, 6. Januar +0.60% usw. Auf einem Balkendiagramm geben die täglichen Wertschwankungen bereits ein gutes Bild über die Schwankungsbreite des DAX:

tägliche Schwankungen im DAX 2011

Bereits von blossem Auge ist zu erkennen, dass die Tagesschwankung im "Normalfall" zwischen -2% und +2% liegen. Die extremsten Ausschläge liegen aber bei über +5% und -5% in einem Tag.


Schauen wir uns an, wie diese 257 einzelnen Tagesschwankungen des Jahres 2011 verteilt sind. Lässt sich eine Normalverteilung erkennen?

DAX2011-Verteilung

Ja, die Tagesschwankung des DAX unterliegen der Normalverteilung. Die Glockenform ist deutlich zu erkennen. Je länger der untersuchte Zeitraum wird, desto deutlicher reihen sich die Daten in die statistische Normalverteilung ein.

Der Mittelwert beträgt -0.05%.

Doch uns interessiert: Wie gross ist eine Standardabweichung und somit die Volatilität des DAX für diesen Zeitraum?

Dazu muss zuerst die Varianz berechnet werden, das Mass für die Standardabweichung im Quadrat (σ²), und dann die Quadratwurzel gezogen werden.

Die Varianz selbstständig zu berechnen ist sehr aufwändig, da jede Tagesschwankung nach folgender Formel durchgerechnet werden muss, was mehrere 100 Rechenschritte nötig macht:

Σ (x-μ)2
   n-1

Also von jeder Tagesschwankung den Mittelwert abziehen, das Resultat im Quadrat hochrechnen. Dann alle Tagesresultate addieren und durch Anzahl Tage-1 dividieren.

Einfacher geht es am Computer, zum Beispiel im Microsoft Excel. Dort in der Formelfunktion "VAR" eingeben und die Datenreihe selektieren.

Die Varianz in unserem Fall beträgt 3.24. Die Standardabweichung ergo 1.80. Wir haben somit bereits die tägliche Volatilität mit 1.80% im DAX berechnet.

Wir können diese Tagesvolatilität nun umrechnen, um die gewünschte Jahresvolatilität zu erlangen. Dazu wird das Resultat mit der Wurzel des gewünschten Umrechnungsfaktors multipliziert. Unser Umrechnungsfaktor ist 257, da das Jahr in 257 Handelstage geteilt ist. (Je länger die Zeitperiode, desto grösser die Vola. Eine Wochenvola ist höher als eine Tagesvola. Und eine Jahresvola höher als eine Monatsvola).

1.80 * √257 = 1.79 * 16.03 = 28.85

Die Standardabweichung oder Volatilität des DAX im Jahr 2011 in unserem Fall beträgt 28.85%.

 

Aussage der Volatilität

Gemäss unserem Beispiel lassen sich folgende Aussagen in Bezug auf das Risiko des DAX tätigen:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68.3% liegt die DAX Jahresperformance für 2012 zwischen -28.90% und +28.80% (Eine Standardabweichung vom Mittelwert -0.05% entfernt).

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95.4% liegt die DAX Jahresperformance für 2012 zwischen -57.75% und +57.65% (2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt).

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4.6% liegt die DAX Jahresperformance für 2012 sogar ausserhalb von 2 Standardabweichungen. Ist also schlechter als -57.75% oder besser als +57.65%.

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